Մաթեմատիկա

Աստիճանային Ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունկցիա կոչվում է f (x)=x^a բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ a-ն բացի զրոյից ցանկացած թիվ է:

Բնական ցուցիչով աստիճանային ֆունկցիան իր շատ 

հատկություններով նման է գծային ֆունկցիային, երբ 

n-կենտ է, և քառակուսային ֆունկցիային, երբ n-ը զույգ է:

 Ուսումնասիրենք f(x)=x^n ֆունկցիայի հատկություններն

այն դեպքում, երբ n-ը կենտ է:

Ֆունկցիայի որոշմանտիրույթն ամբողջովին թվային ա- 

ռանցքն է:

 D (f)=(-∞; +∞)

Ֆունկցիան կենտ է, քանիոր կենտ n-ի դեպքում   f (-x)=

=(-x)^n=-x^n=-f (x)

Ֆունկցիան ունի մեկ զրո` f (0)=0

Ֆունկցան դրական է, երբx € (0;+∞), և բացասականէ, երբ 

x € (-∞; 0)

Եթե n-ը կենտ է, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է

առաջին և երրորդ քառորդներում: Ֆունկցիայի որոշման

տիրույթն ամբողջ թվային առանցքն է D (f)=(-∞;+∞)

Ֆունկցիան աճում է ամբողջ թվային առանցքի վրա:

Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունն ամբողջ թվային

առանցքն է E (f)=(-∞;+∞), որովհետև ֆունկցիան 

ընդունում  է ցանկացած կամայական իրական արժեք: 

Հետևաբար` ֆունկցիան անսահմանափակ է և չունի մե-

ծագույն ու փոքրագույն արժեքներ:

Ուսումնասիրենք f(x)=x^n ֆունկցիայի հատկություններն 

այն դեպքում, երբ n-ը զույգ է:

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ամբողջովին թվային առ

անցքն է:

D (f)=(-∞; +∞)

Ֆունկցիան զույգ է, որովհետև f (-x)=(-x)^n=x^n=f (x)

Ֆունկցիան ունի մեկ 0, f (0)=0

Ֆունկցիան դրական է, երբ x0, և ֆունկցիայի գրաֆիկը 

գտնվում է առաջին ու երկրորդ քառորդներում: 

Ֆունկցիան աճում է (-∞;0] միջակայքում և աճում  

[0;+∞) միջակայքում:Ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը

 0-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=0 կետում: 

Ֆունկցիան չունի մեծագույն արժեք:

Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը ոչ բացասական 

թվերի բազմությունն է` E (f)=[0; +∞)

Առաջադրանք 1 Գծել լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկ և դրանից օգտվելով թվարկել ֆունկցիայի բնութագրիչները:    Պարզագույն լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարումների լուծելը:​

Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները

Լոգարիթմական ֆունկցիա կոչվում է f (x) = log a = x, 

որտեղ a-ն 1- ից տարբեր դրական թիվ է:

1)Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը դրական կիսառանցքն է՝ 

D(f)=(0,∞):

2)Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունն ամբողջ թվային առանցքն է՝

E(f)=(− ∞,∞):

3)Ֆունկցիան մոնոտոն է իր որոշման տիրույթում: Ընդ 

որում այն աճող է, եթե ՝ a > 1, և նվազող՝ եթե 0 < a <1:

4)Ֆունկցիան 0 արժեքն ընդունում է x=1 կետում:

5)ա) a > 1 դեպքում ֆունկցիան բացասական է (0,1) և 

դրական ( 1,∞) միջակայքերում:

բ) 0 < a < 1 դեպքում ֆունկցիան դրական է (0,1) և դրական 

( 1,∞) միջակայքերում:

Log₄8=log₂²2³=3/2

Log₅25=log₅5²=2

Lg25+lg4=lg100=lg10²=2

Log₃3⁴=4log₃3=4

Առաջադրանք 2

GeoGebra ծրագրով գծեք միավոր շրջանագիծ: Օգտվելով գծագրից հինգ տարբեր անկյունների համար գտեք դրանց սինուսը և կոսինուսը: Գտած անկյունների համար ստուգեք եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունը:

Sin45=0,71

Cos45=0,71 

 Sin30=0,5

Cos30=0,87

sin60 = 0,87

Cos60=0,5

Sin35=0,57

Cos35=0.82

sin15 = 0.26

cos15 = 0,97

Sin²α+cos² α=1

Sin²30+cos²30=1

1-sin²30=cos²30

1-0.25=0.75

Cos²=0.75

 

Cos=0.87Աստիճանային ֆունկցիա.

 f (x)= xⁿ  , երբ n- ը կենտ է:

1.      Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է՝ D( f ) = (− ∞,∞):

2.      Ֆունկցիան կենտ է,քանի որ կենտ n-ի դեպքում  f(-x)=(-x)^n=-x^n=-f(x):

Հետևաբար՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ:

3.      Ֆունկցիան ունի մեկ զրո՝ f (0)= 0 :

4.      Ֆունկցիան դրական է երբ՝  x ∈(0,∞) և բացասական է,երբ՝ x ∈(− ∞,0):Ֆունկղիայի գրաֆիկը գտնվում է առաջին և երրորդ քառորդներում:

5.      Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունն ամբողջ թվային առանցքն է՝ 

E( f ) = (− ∞,∞),քանի որ ֆունկցիան ընդունում է կամայական իրական արժեք: Հետևաբար՝ ֆունկցիան անսահմանափակ է և չունի մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ:

F(x)=x⁵

Ցուցչային հավասարումներ և անհավասարումներ

Ցուցչային հավասարումներ

Դիտարկենք պարզագույն ցուցչային հավասարումը` ax=b (1), որտեղ a>0, a≠1: Քանի որ f(x)= ax ցուցչային ֆունկցիայի արժեքների բազմությունըբոլոր դրական թվերի բազմությունն է, ուրեմն

Եթե b≤0, ապա (1) հավասարումը լուծում չունի,

Օրինակ` 5+5x=-10

                  5x=-10-5

                  5x=-5

Եթե b>0, ապա (1) հավասարումն ունի միակ լուծում,

Օրինակ` 2x=32

                  2x=25

                  x=5

Ցուցչային անհավասարումներ

Պարզագույն ցուցչային անհավասարումներ են` ax>b և ax<b անհավասարումները, որտեղ a-ն 1-ից տարբեր թիվ է:

Նախ քննարկենք b≤0 դեպքը: Մենք գիտենք, որ ax մեծությունը կամայական x թվի համար դրական է: Դա նշանակում է, որ,

Եթե b≤0, ապա ax>b անհավասարման լուծումն է` (-∞;∞),

Եթե b≤0, ապա ax<b անհավասարումը լուխում չունի:

Ցուցչային Ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիա է կոչվում  f(x)= a^x ֆունկցիան, որտեղ a-ն 1-ից տարբեր դրական թիվ է:

1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն է իրական թվերի բազմությունը՝ D(f) = (-∞,∞):
2. Ֆունկցիան դրական է ամբողջ թվային առանցքի վրա:
3. Ֆունկցիան մոնոտոն է մաբողջ թվային առանցքի վրա: Ընդ որում այն աճող է, եթե a>1 և նվազող՝ եթե 0<a<1:
4. Ֆունկցիայի արժեքների կազմությունն է դրական կիսաառանցքը՝ E(f)= (0, ∞):
5. Ֆունկցիան չունի 0-ներ, մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ:
6. Ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է օրդինատների առանցքը՝ (0,1) կետում, քանի որ a⁰= 1

  

f(x)= 4^x

Պարզ թվեր

1.     Ո՞ր թվերն են անվանվում պարզ:

Պարզ ե նկոչվում այն թվերը,  որոնք միայն բաժանվում են 1-ի և իրենց վրա:

3,11,13,17…

2.     Ինչպե՞ս ենք թվերը ներկայացնում պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով:

Երբ թիվը ստանում ենք պարզ թվերը իրար բազմապատկելով:

30=3*5*2

3.     Որոնք են բնական թվերը?

Բնական են այն թվերը, որոնցով կարելի է հաշվել: (մեկ աթոռ, երկու աթոռ, երեք աթոռ…և այլն)

4.     Ինչ գործողություններ կարելի է անել բնական թվերով?

Բնական թվերով կարելի է գումարել,  հանել,  բազմապատկել,  բաժանել,  բայց այնպես, որ բացասական թիվ չստացվի:

Օրինակ` 2+4=6

2×4=8

2-4 = -2 (բնական թիվ չէ)

Բնական թվեր

1.     Ո՞ր թվերն են կոչվում բնական թվեր:

Հաշվելիս առաջացող թվերը կոչվում են բնական թվեր: Օրինակ՝ 1,2,3,4,5,6…

     2.     Ի՞նչ է բնական թվերի շարքը:
Հաշվելիս մենք թվերին քայլ առ քայլ մեկ ենք գումարում՝ արդյունքում ստանալով «1,2,3,4,5,6…» շարքի թվերից որևէ մեկը: Հենց այս շարքն էլ կոչվում է բնական թվերի շարք: 

     3.     Ո՞ր թվով է սկսվում բնական թվերի շարքը:
Բնական թվերի շարքը սկսում է մեկից:
1,2,3…

     4.     Մի՞շտ կարելի է համեմատել երկու բնական թվեր: 

Այո, ցանկացած երկու բնական թիվ կարելի է համեմատել,պարզել, թե թվերից որն է ավելի մեծ, կամ փոքր:
Օրինակ՝ 1<3, 5>2, 3<10…

      5.     Բնական թի՞վ է արդյոք զրոն:

Ոչ, զրոն բնական թիվ չէ, քանի որ հաշվելիս չի օգտագործվում: Զրոն որևէ բանի բացակայության նշանն է:

      6.     Կարելի՞ է բնական թվերը համեմատել զրոյի հետ:
Այո, բնական թվերը կարող են համեմատվել նաև զրոյի հետ, որը բնական թիվ չէ:
Օրինակ՝ 1>0, 6>0, 87>0…

      7.     Ինչպե՞ս են դասավորված թվերը բնական թվերի շարքում:
Թվերն այնտեղ դասավորված են աճման կարգով:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12…

      8.     Գոյություն ունի՞ արդյոք այնպիսի բնական թիվ, որին չի հաջորդում ուրիշը:
Ոչ, ցանկացած բնական թվի հաջորդում է մեկ ուրիշը: Այնպիսի բնական թիվ(այսինքն ամենամեծ) չկա, որին չհաջորդի ուրիշը:

      9.     Ո՞րն է ամենափոքր բնական թիվը:
Մեկը ամենափոքր բնական թիվն է:

     10. Կարելի՞ է 0-ն բաժանել բնական թվի:
Այո, զրոն ցանկացած բնական թվի բաժանելիս ստացվում է զրո: Օրինակ՝ 5:0=0,  88:0=0,  14:0=0…